Войти
а) Решите уравнение √3 sin 2x + 3 cos 2x = 0. б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 5π/2].
Пошаговое решение
б) На отрезке [π; 5π/2] корни: 4π/3, 11π/6, 7π/3.
Проверим, можно ли разделить уравнение на cos 2x. Если cos 2x = 0, то sin 2x = ±1, и исходное уравнение не обращается в ноль. Значит, cos 2x ≠ 0 для корней.
√3 sin 2x + 3 cos 2x = 0Разделим обе части уравнения на cos 2x и найдём значения угла 2x.
√3 tan 2x + 3 = 0tan 2x = -√32x = -π/3 + πk, k ∈ ℤРазделим равенство для 2x на 2. Получим все корни исходного уравнения.
x = -π/6 + πk/2, k ∈ ℤОтберём корни, принадлежащие указанному отрезку.
π ≤ -π/6 + πk/2 ≤ 5π/27/3 ≤ k ≤ 16/3Целые значения k в найденных границах — 3, 4 и 5. Подставим их в формулу общего корня.
k = 3: x = 4π/3k = 4: x = 11π/6k = 5: x = 7π/3Подробное объяснение
Из уравнения √3 sin 2x + 3 cos 2x = 0 следует, что cos 2x не равен нулю: при cos 2x = 0 синус равен 1 или -1, поэтому исходная левая часть не может быть равна нулю. Делим уравнение на cos 2x: √3 tan 2x + 3 = 0, откуда tan 2x = -√3. Значит, 2x = -π/3 + πk, где k ∈ ℤ, и x = -π/6 + πk/2. Для корней на отрезке [π; 5π/2] решаем двойное неравенство: π ≤ -π/6 + πk/2 ≤ 5π/2. После преобразования получаем 7/3 ≤ k ≤ 16/3. Подходящие целые значения: k = 3, 4, 5. Им соответствуют x = 4π/3, 11π/6, 7π/3. Все три числа принадлежат заданному отрезку.
